Función de Möbius

A función de Möbius μ(n) é unha función multiplicativa na teoría dos números e combinatoria. Debe o seu nome ao matemático alemán August Ferdinand Möbius, quen a definiu en 1831.

Definición

Para todo enteiro positivo n, μ(n) está definido e pode ter tres valores: -1, 0, e 1, dependendo da factorización de n en primos:

• μ(n) = 0 se n ten como divisor un número natural ao cadrado, é dicir, que é dividido por un primo ao cadrado.
• μ(n) = 1 se n que é libre de cadrados (non ten como divisor outro número natural ao cadrado) e descompón nunha cantidade par de números primos.
• μ(n) = −1 se n non ten como divisor outro número natural ao cadrado e descompón nunha cantidade impar de números primos.

Equivalentemente,

$\mu (n)=\left\{{\begin{array}{l}1&{\text{ se }}n=1\\0&{\text{ se }}p^{2}\mid n{\text{ para certo primo }}p\\(-1)^{r}&{\text{ se }}n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}{\text{, e tódolos }}p_{i}{\text{ primos distintos}}\end{array}}\right.$

Os primeiros 20 valores da función son:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ(n)	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

Propiedades

A función de Möbius é unha función multiplicativa, é dicir, se a e b son primos entre si, entón μ(ab) = μ(a) μ(b).

A suma da función de Möbius aplicada a cada un dos divisores dun número n é cero, excepto para n = 1

$\sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Burton, David M. (2002). Elementary Number Theory (5ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232569-0. 

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---