Ecuacións de Navier-Stokes

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Mecánica de medios continuos
BernoullisLawDerivationDiagram.png
Leis básicas
Conservación da masa
Conservación da enerxía
Ecuacións de Navier-Stokes
Mecánica de fluídos
Fluído
Tensión superficial
Cantidade de movemento
Mecánica de sólidos deformábeis
Elasticidade
Plasticidade
Lei de Hooke

As ecuacións de Navier-Stokes son un conxunto de ecuacións diferenciais que describen o escoamento de fluídos. Son ecuacións a derivadas parciais que permiten determinar os campos de velocidade e de presión.

Introdución[editar | editar a fonte]

As ecuacións de Navier-Stokes foron denominadas así após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolveren un conxunto de ecuacións que describirían o movemento das substancias fluídas tales como líquidos e gases. Estas ecuacións estabelecen que mudanzas no momento e aceleración dunha partícula fluída son simplemente o produto (resultado) das mudanzas na presión e forzas viscosas disipativas (similar a fricción) actuando dentro do fluído. Esta forza viscosa se orixina na interacción molecular e actua como gaviñas para fluído. Por tanto, son un dos mais útiles conxunto de ecuacións porque describen a física dun grande número de fenómenos de interese económico e académico. Son usadas para modelar o clima, corrente oceánicas, fluxos da agua en canos, movementos das estrelas dentro da galaxia, fluxo ao redor de aerofolios (asas), propagación de fumaza en incendios, etc. Tamén son usadas no proxecto de aeronaves e carros, o estudo do fluxo sanguíneo, o proxecto de usinas de forza, a análise dos efectos da polución, etc. Xuntamente con as ecuacións de Maxwell, poden ser usadas para a modelaxe en estudos na magnetodinámica.

As ecuacións de Navier-Stokes son ecuacións diferenciais que describen o movemento do flúido. Estas ecuacións, diferentes das ecuacións alxébricas, non procuran estabelecer unha relación entre as variábeis de interese (por exemplo. velocidade e presión), en vez disto, elas estabelecen relacións entre as taxas de variación ou fluxos destas cantidades. En termos matemáticos, estas razóns corresponden a súas derivadas. As ecuacións de Navier-Stokes para o caso máis simple dun fluído ideal con viscosidade cero, estabelecen que a aceleración (a razón de variación da velocidade) é proporcional á derivada da presión interna.

Isto significa que as solucións das ecuacións de Navier-Stokes para un problema físico dado deben ser obtidas coa axuda do cálculo. En termos prácticos, somente os casos máis simples poden ser resoltos desta forma e as súas solucións exactas son coñecidas. Estes casos frecuentemente envolven fluxo non-turbulento en estado estacionario (o fluxo non varía como o tempo) no cal a viscosidade do fluído é grande ou súa velocidade pequena (número de Reynolds pequenos).

Para situacións mais complexas, tales como un sistema de clima global como o El Niño ou a sustentación en unha asa, as solucións para a ecuación de Navier-Stokes frecuentemente deven ser encontradas con a axuda de computadores. Este é un campo da ciencia coñecido como CFD, sigla do inglés Computational Fluid Dynamics ou Dinámica dos Fluídos Computacional.

Embora a turbulencia sexa un fenómeno de nosa experiencia diaria, é extremamente difícil encontrar solucións para esta clase de problemas. Un premio de 1.000.000 U$ foi ofrecido en maio de 2000 polo o Instituto de matemática Clay para calquera que fixer progresos substanciais na dirección dunha matemática teórica que poida axudar a entender este fenómeno.

Suposicións básicas[editar | editar a fonte]

Antes de entrar nos detalles da ecuación de Navier-Stokes, é necesario facer varias suposicións à cerca dos fluídos. A primeira é que un fluído é un medio continuo. Isto significa que ele non contén vacios, como por exemplo, bollas disolvidas no gas, ou que ele non consiste de partículas como da neblina. Outra hipótese necesaria é que todas as variábeis de interese tales como presión, velocidade, densidade, temperatura, etc., son diferenciábeis (isto é, non ten transición de fase).

Estas ecuacións son obtidas de principios básicos de conservación da masa, momento, e enerxía. Para este obxectivo, algunhas veces é necesario considerar un volume arbitrariamente finito, chamado volume de control, sobre o cal estes principios poidan ser facilmente aplicados. Este volume é representado por \Omega e a súa superficie de confinamento por \partial \Omega. O volume de control permanece fixo no espazo ou pode moverse como o fluído. Isto conduce, con todo, para consideracións especiais, como será mostrado a seguir.

A derivada material[editar | editar a fonte]

As mudanzas nas propiedades dun fluido en movemento poden ser medidas de dúas formas diferentes. Iso será ilustrado a través dun exemplo, utilizando a medición da velocidade do vento na atmosfera. Unha forma de medir estas mudanzas é con a axuda de anemómetro en unha estación climática, ou pola liberación dun balón atmosférico. Claro que o primeiro caso é mais indicado para a medición da velocidade de todas as partículas que pasan a través dun punto fixo no espazo. No segundo caso, o instrumento está medindo mudanzas na velocidade a medida que se move co fluído. A mesma situación xurde con medidas da mudanza da densidade, temperatura, etc. Cando aplicamos unha diferenciación debemos destacar as diferenzas destes dous casos. A derivada dun campo con respecto a unha posición fixa no espazo é coñecida como espacial ou derivada de Euler. A derivación acompañando o movemento dunha partícula é chamada de substantiva ou derivada Langraxiana.

A derivada material é definida polo operador:


\frac{D}{Dt}(\cdot) \equiv \frac{\partial(\cdot)}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\cdot)

onde \mathbf{v} é a velocidade do fluído. O primeiro termo do lado dereito da ecuación é a derivada tradicional de Euler (isto é, a derivada con referencia a un punto fixo) o segundo termo representa as mudanzas provocadas polo movemento do fluído.

Leis de Conservación[editar | editar a fonte]

As ecuacións de Navier-Stokes son derivadas dos principios da conservación da:

Adicionalmente, é necesario asumir unha relación constitutiva ou ecuación de estado para o fluído.

Na súa forma máis xeral, unha lei de conservación estabelece que a razón de mudanza dunha propiedade continua L definida en todo volume de control debe ser igual a aquilo que é perdido a través das fronteiras do volume, cargado para fóra polo movemento do fluído, mais o que é creado/consumido polas fontes e sorbedoiros dentro do volume de control. Isto exprésase pola ecuación integral:

\frac{d}{dt}\int_{\Omega} L \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} L\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega+ \int_{\Omega} Q d\Omega

Onde v é a velocidade do fluído e representa as fontes e sorbedoiros no fluído.

Se o volume de controle é fixado no espazo entón a ecuación integral pode ser expresa asi:

\frac{d}{d t} \int_{\Omega}  L d\Omega = -\int_{\Omega} \nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) d\Omega + \int_{\Omega} Q d\Omega

Note que o teorema da diverxencia de Gauss foi usado na dedución desta última ecuación, de forma a expresar o primeiro termo do lado dereito no interior do volume de control Por tanto:

 \frac{d}{dt}\int_{\Omega} L d\Omega = - \int_{\Omega} (\nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) - Q) d\Omega

A expresión acima é válida para \Omega, que é un volume de control que permanece fixo no espazo. Devido a \Omega non variar no tempo, é posíbel trocar os operadores "\frac{d}{dt}" e " \int_{\Omega}^{} d\Omega". E como esta expresión é valida para todos os dominios podemos, alén diso, remover a integral.

Con a introdución da derivada material obtemos, cando  Q = 0 (ningunha fonte ou sorbedoiro):


\frac{\partial}{\partial t} L + \nabla\cdot\left(L \mathbf{v} \right) = \frac{D}{Dt}L + L \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) = 0

Ecuación da continuidade[editar | editar a fonte]

A conservación da masa é descrita así:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + 
\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0

=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho

=\frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0

onde \rho é a densidade de masa (masa por unidade de volume), e v é a velocidade do fluído.

No caso dun fluído incompresíbel, \rho non é unha función do tempo ou espazo e a ecuación se reduce a:

\nabla\cdot\mathbf{v} = 0

Conservación do momento[editar | editar a fonte]

A conservación do momento é expresa de maneira similar á ecuación de continuidade, co compoñente vector do momento substituíndo o de densidade, e con un termo fonte para representar as forzas que actuan no fluído.

Substituímos \rho na ecuación de continuidade co momento rede por unidade de volume ao longo dunha dirección en particular, , \rho v_i, onde v_i é o i^{th} compoñente da velocidade, isto é, a velocidade ao longo das direccións x, y, ou z.

\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_i \right) + \nabla
\cdot (\rho v_i \mathbf{v}) =   f_i .

 \rho f_i é a i^{th} compoñente da forza actuando no fluído (sempre forza por unidade de volume). As forzas comunmente encontradas incluen a gravidade e gradientes de presión. Isto tamén pode ser expreso como:

\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) + \nabla(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \mathbf{f}

Note que \mathbf{v}\otimes\mathbf{v} é un tensor, o \otimes representa o produto tensorial.

Podemos simplificar isto mais, usando a ecuación de continuidade, obtendo:

\rho\frac{D v_i}{D t}= f_i

a cal é frequentemente escrita como:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}= \mathbf{f}

Na cal recoñecemos o usual F=ma.

A ecuación[editar | editar a fonte]

Forma Xeral[editar | editar a fonte]

A forma das ecuacións[editar | editar a fonte]

A forma xeral das ecuacións de Navier-Stokes para a conservación do momento é:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \mathbf{f}

onde \rho é a densidade do fluído, v é o vector velocidade, e f é o vector de forza do corpo. O tensor \mathbb{P} representa as forzas superficiais aplicadas na partícula fluída (o tensor tensión). A menos que o fluído posúa un grao de liberdade de rotación, tal como en un vórtice, \mathbb{P} é un tensor simétrico. En xeral, temos a forma:

\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} &  \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}
=
-
\begin{pmatrix}
p&0&0\\
0&p&0\\
0&0&p
\end{pmatrix}
+ 
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}+p &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy}+p & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}+p
\end{pmatrix}

onde os \sigma son a tensión normal, \tau tensión tanxencial (tensión de cisallamento), e p é a presión estática, asociada como a parte isotrópica do tensor de tensións sen considerar se o fluído está ou non en equilibrio.

Finalmente, temos:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \mathbf{f}

onde \mathbb{T} é a somatoria da diagonal principal de \mathbb{P}.

Esta ecuación está aínda incompleta. Para completá-la, deve ser feita unha hipótese na forma de \mathbb{P}, que é unha necesaria lei constitutiva para o tensor de tensións como mostrado abaixo.

O fluxo é tido como sendo diferenciábel e contínuo, permitindo que as leis de conservación sexan expresas como ecuacións diferenciais parciais. No caso de fluidos incompresíbeis (densidade constante), as variábeis a seren selecionadas son os componentes da presión e velocidade. Os tres compoñentes das ecuacións de Navier-Stokes máis a conservación da masa (ecuación de continuidade) forman un sistema fechado de ecuacións diferenciais parciais ben definidas para estas variábeis, que pode ser resolvido, en principio, para condicións de contorno adecuadas.

A ecuación pode ser convertida para ecuacións de Wilkinson polo uso de variábeis secundarias vorticidade e función de fluxo. A solución depende das propiedades do fluxo (tales como viscosidade, calor específico, e condutividade térmica), e das solucións de contorno do domínio de estudo.

Ecuacións[editar | editar a fonte]

A forma xeral das ecuacións de Navier-Stokes é:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \mathbf{f}

A interpretación desta ecuación vectorial (realmente tres ecuacións, unha para cada dimensión) é que a variación da cantidade de movemento dunha partícula fluída ou un volume de control é igual á suma do gradiente de presións, o tensor de tensións e as forzas aplicadas.



\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \left(\rho v_{x}\right)}{\partial x}+\frac{\partial \left(\rho v_{z}\right)}{\partial z}=0


\rho \left(\frac{\partial v_{x}}{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{z}\frac{\partial v_{x}}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}-\left(\frac{\partial \tau _{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z}\right)


\rho \left(\frac{\partial v_{z}}{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{z}}{\partial x}+v_{z}\frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}-\left(\frac{\partial \tau _{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau _{zz}}{\partial z}\right)+\rho g



\frac{\partial}{\partial t}u_i+ \Sigma uj\frac{\partial u_i}{\partial xj}=V \Delta u_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+f_i(x,t)


Formas especiais[editar | editar a fonte]

Estas son algunhas simplificacións usuais do problema para as cales algunhas solucións son coñecidas.

Fluidos Newtonianos[editar | editar a fonte]

Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipóteses son válidas:

p_{ix}=-p\delta_{ix}+\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_x}+\frac{\partial v_x}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ix}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)

onde:

\mu é a viscosidade do fluido.
\delta_{ix} é o delta Kronecker (1 para i=x; 0 se i \ne x).

Para entender como isto foi derivado, notemos primeiro que no equilibrio, pix=-pδix. Para un fluido Newtoniano, a variación do tensor forza covariante do valor de equilibrio é linear no gradiente da velocidade. Obviamente non pode depender da propia velocidade devido a Covariancia de Galileo. En outras palabras, pix+pδix é linear na \partial_i v_x. Os fluídos que son considerados aqui son invariantes rotacionalmente (isto é, non son cristais líquidos.

Fluídos Binghan[editar | editar a fonte]

Nos fluídos de Binghan, temos algo lixeiramente diferente:

\tau_{ix}=\tau_0 + \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_x},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_x}>0

Estes son fluídos capaces de suportar algun forza de cisallamento antes de iniciar o fluxo. Algúns exemplos comúns son a pasta de dentes e a masa de modelaxe.

Fluídos Incompresíbeis[editar | editar a fonte]

A meirande parte dos usos das ecuacións é en fluxos que se poden considerar incompresíbeis, isto non só se limita a fluídos incompresíbeis (líquidos) se non tamén a gases en fluxos con números de Mach inferiores a 0.3, onde o efecto da compresión é desprezábel. Se asumimos fluxo incompresíbel e viscosidade constante:

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}

f representa "outras" forzas volumétricas (forzas por unidade de volume).

Explicando cada termo:


\overbrace{\rho \Big(
\underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Aceleracion}\\
  \text{local}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Aceleracion} \\
  \text{convectiva}
\end{smallmatrix}}\Big)}^{\text{Inercia}} =
\underbrace{-\nabla p}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Gradiente} \\
  \text{de presions}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mu \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{Viscosidade}} + 
\underbrace{\mathbf{f}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Outras} \\
  \text{forzas}
\end{smallmatrix}}

As ecuacións de Navier-Stokes separadas son


\rho\frac{Du_i}{Dt}= f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[
2\mu\left(e_{ij}-\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right]

Para conservación de momento e

\nabla\cdot\mathbf{v}=0

para conservación de masa.

onde

\rho é a densidade,
u_i (i=1,2,3) son os tres compoñentes da velocidade,
f_i forzas que actuan no corpo (tales como a gravidade),
p a presión,
\mu a viscosidade dinámica, dun punto do fluído;
e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right);
\Delta=e_{ii} é a diverxencia,
\delta_{ij} é o delta Kronecker.

Se \mu é constante en todo o fluido, o momento da ecuación acima é simplificado para


\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}
+\mu
\left(
  \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+                                                                                                                                         \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)

Se agora adicionalmente \rho é asumido constante obtemos o seguinte sistema:

 \rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial x} +\rho g_x
 \rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial y} +\rho g_y
 \rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial z} +\rho g_z

Ecuación de continuidade (asumindo incompresibilidade):

 {\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0

Note que as ecuacións de Navier-Stokes poden somente descreber o fluxo dun fluído aproximadamente, a unha escala extremamente pequenas ou baixo condicións extremas, fluídos reais son constituídos dunha mistura de moléculas discretas e outros materiais, tales como partículas en suspensión e gases disolvidos, o que ira producir resultados diferentes dos obtidos dun fluído continuo e homoxéneo modelado pola ecuacións de Navier-Stokes. Dependendo do número Knudsen do problema, a mecánica estatística deve ser unha abordaxe mais apropiada. Con todo, as ecuacións de Navier-Stokes son útiles para un grande número de problemas prácticos, dentro de súas limitacións.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Notas[editar | editar a fonte]

  • White MECÁNICA DE FLUÍDOS 5ª edición 2004 McGraw-Hill ISBN 84-481-4076-1. ISBN 978-84-481-4076-2
  • Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR
  • A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8