Ecuación de onda electromagnética

Os campos electromagnéticos propáganse polo espazo en forma de ondas, que poden viaxar a través dun medio así como no baleiro. As ecuacións de onda electromagnéticas son necesarias para describir a propagación das ondas electromagnéticas, tanto en presenza de materia como no baleiro.

Ecuacións de onda e as ecuacións de Maxwell

Como se pode apreciar, temos ecuacións de onda tanto para o campo eléctrico $\vec{E}$ como para o fluxo magnético $\vec{B}$ , que se obteñen a partir das ecuacións de Maxwell, tendo que:

$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

$\nabla \times \vec{B}=\mu_0(\vec{J}+ \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})$

Para obtermos as ecuacións é necesario aplicar o operador rotacional a ambas.

Ecuación de onda para E

$\nabla \times(\nabla \times \vec{E})=-\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \vec{B})$

Substituíndo $\nabla \times \vec{B}$ e aplicando identidade de rotacional temos:

$-\nabla^2 \vec{E}+\nabla (\nabla \cdot \vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 (\vec{J}+\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})$

Ora ben, sabemos que a segunda parte do lado esquerdo é cero e $\vec{J}$ é cero no baleiro, quedándonos só

$-\nabla^2 \vec{E}=-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$

Agora, igualando a cero e sabendo que $\mu_0 \epsilon_0=\frac{1}{c^2}$, sendo c a velocidade da luz, temos a ecuación de onda para $\vec{E}$:

$\nabla^2 \vec{E}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=0$

Ecuación de onda para B

$\nabla \times (\nabla \times \vec{B})=\nabla \times (\mu_0(\vec{J}+ \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}))$

Aplicando as mesmas identidades que con $\vec{E}$ e sabendo que $\vec{J}$, tamén é cero, quédanos:

$-\nabla^2 \vec{B}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{E})$

Substituíndo $\nabla \times \vec{E}$ e igualando a cero, temos a ecuación de onda para $\vec{B}$.

$\nabla^2 \vec{B}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}=0$