Ecuación de onda electromagnética

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Os campos electromagnéticos propáganse polo espazo en forma de ondas, que poden viaxar a través dun medio así como no baleiro. As ecuacións de onda electromagnéticas son necesarias para describir a propagación das ondas electromagnéticas, tanto en presenza de materia como no baleiro.

Ecuacións de onda e as ecuacións de Maxwell[editar | editar a fonte]

Como se pode apreciar, temos ecuacións de onda tanto para o campo eléctrico \vec{E} como para o fluxo magnético \vec{B} , que se obteñen a partir das ecuacións de Maxwell, tendo que:

\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

\nabla \times \vec{B}=\mu_0(\vec{J}+ \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})

Para obtermos as ecuacións é necesario aplicar o operador rotacional a ambas.

Ecuación de onda para E[editar | editar a fonte]

\nabla \times(\nabla \times \vec{E})=-\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \vec{B})

Substituíndo \nabla \times \vec{B} e aplicando identidade de rotacional temos:

-\nabla^2 \vec{E}+\nabla (\nabla \cdot \vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 (\vec{J}+\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})

Ora ben, sabemos que a segunda parte do lado esquerdo é cero e \vec{J} é cero no baleiro, quedándonos só

-\nabla^2 \vec{E}=-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

Agora, igualando a cero e sabendo que \mu_0 \epsilon_0=\frac{1}{c^2}, sendo c a velocidade da luz, temos a ecuación de onda para \vec{E}:

\nabla^2 \vec{E}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=0

Ecuación de onda para B[editar | editar a fonte]

\nabla \times (\nabla \times \vec{B})=\nabla \times (\mu_0(\vec{J}+ \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}))

Aplicando as mesmas identidades que con \vec{E} e sabendo que \vec{J}, tamén é cero, quédanos:

-\nabla^2 \vec{B}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{E})

Substituíndo \nabla \times \vec{E} e igualando a cero, temos a ecuación de onda para \vec{B}.

\nabla^2 \vec{B}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}=0