Círculo de Mohr

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O Círculo de Mohr (estritamente sería a circunferencia de Mohr) é unha técnica usada en enxeñaría e xeofísica para representar graficamente un tensor simétrico (de 2x2 ou de 3x3) e calcular con el momentos de inercia, deformacións e tensións, adaptando os mesmos ás características dunha circunferencia (radio, centro, etc). Tamén é posible co círculo o cálculo do esforzo cortante máximo absoluto e a deformación máxima absoluta.

Este método foi desenvolvido por 1882 polo enxeñeiro civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

Circunferencia de Mohr para esforzos[editar | editar a fonte]

Caso bidimensional[editar | editar a fonte]

Círculo de Mohr para esforzos.

En dúas dimensións, o Círculo de Mohr permite determinar a tensión máxima e mínima, a partir das medicións da tensión normal e tanxencial sobre dous ángulos que forman 90º:

\begin{cases}
\mbox{medida 1} & (\sigma_x, \tau) \\
\mbox{medida 2} & (\sigma_y, -\tau) \end{cases}

NOTA: O eixe vertical encóntrase invertido, polo que os esforzos positivos sinálanse abaixo e os esforzos negativos localízanse na parte superior.

Usando eixes rectangulares, onde o eixe horizontal representa a tensión normal \left( \sigma \right) e o eixe vertical representa a tensión cortante ou tanxencial \left( \tau \right) para cada un dos planos anteriores. Os valores da circunferencia fidan representados do seguinte xeito:

  • Centro do círculo de Mohr:


 C:= (\sigma\ _\mbox{med},0) = \left(\frac {\sigma\ _x + \sigma\ _y} {2}, 0\right)

  • Radio da circunferencia de Mohr:


r:= \sqrt{ \left ( \frac { \sigma\ _x - \sigma\ _y } { 2 } \right ) ^2 + \tau\ ^2_{xy} }

As tensións máxima e mínima veñen dadas en termos desas magnitudes simplemente por:


\sigma_\mbox{max} = \sigma_\mbox{med} + r \qquad
\sigma_\mbox{min} = \sigma_\mbox{med} - r

Estes valores pódense obter tamén calculando os valores propios do tensor tensión que neste caso ven dado por:


\mathbf{T}\vert_{x,y} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau \\
\tau & \sigma_y \end{bmatrix}

Caso tridimensional[editar | editar a fonte]

O caso do estado tensional dun punto P dun sólido tridimensional é máis complicado xa que matematicamente represéntase por unha matriz de 3x3 para a que existen 3 valores propios, non necesariamente diferentes.


\mathbf{T}\vert_{x,y,z} =
\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx}& \sigma_y  & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}

No caso xeral, as tensións normal (σ) e tanxencial (τ), medidas sobre calquera plano que pase polo punto P, representadas no diagrama (σ,τ) caen sempre dentro dunha rexión delimitada por 3 círculos. Isto é máis complexo que o caso bidimensional, onde o estado tensional caía sempre sobre unha única circunferencia. Cada unha das 3 circunferencias que delimitan a rexión de posibles pares (σ,τ) coñecese co nome de circunferencia de Mohr.

Círculo de Mohr con momentos de inercia[editar | editar a fonte]

Para sólidos planos ou case-planos, pode aplicarse a mesma técnica da circunferencia de Mohr que se usou para tensións en dúas dimensións. Ao calcular o momento de inercia arredor dun eixe que se encontra inclinado, a circunferencia de Mohr pode ser utilizado para obter este valor. Tamén é posible obter os momentos de inercia principais. Neste caso as fórmulas de cálculo do momento de inercia medio e o radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas ás de cálculo de esforzos:

  • Centro da circunferencia:


 C:= (I _{med},0) = \left (\frac {I_x + I_y} {2}, 0 \right)

  • Radio da circunferencia:


 r:= \sqrt{ \left( \frac {I _x - I _y}{2} \right)^2 + I ^2_{xy}}

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]