Autocorrelación

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

A autocorrelación é unha operación matemática consistente na correlación dunha función con ela mesma. Existen varias definicións dependendo do campo de estudo que se considere, tipicamente o procesamento de sinais por unha banda e a estatística por outra.

Definicións[editar | editar a fonte]

Imos ver a continuación as dúas definicións que se adoitan atopar, a da estatística, para variabeis discretas e as empregadas en procesamento de sinais para variabeis continuas e discretas.

Estatística[editar | editar a fonte]

Por unha banda en estatística, a autocorrelación é unha medida que informa de canto o valor dunha realización dunha variábel aleatoria é capaz de influenciar os seus veciños. Por exemplo, o canto a existencia de valor máis alto condiciona valores tamén altos dos seus veciños.

Supóndose unha variábel aleatoria Xt discreta estacionaria, dependente do tempo, con media μ, a súa autocorelación R(k) ven definida como:

R(k) = \frac{E[(X_t - \mu)(X_{t+k} - \mu)]}{\sigma^2}


onde E[ ] é o valor medio, ou valor agardado da expresión, k é o movemento no tempo e \sigma é a variancia da variábel X_t.

Segundo a definición da estatística, o valor da autocorrelación está entre 1 (correlación perfeita) e -1, o que significa anti-correlación perfeita. O valor 0 significa total ausencia de correlación.

Procesamento de sinais[editar | editar a fonte]

En procesamento de sinais a autocorrelación continua dun sinal f(t), Rf(τ), defínese como a correlación continua de f(t) con ela mesma mais desprazada por un valor τ

R_f(\tau) = f^*(-\tau) \circ f(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt

onde f* represente a complexa conxugada e o cículo representa a convolución. Para unha función real, f* = f.

A autocorrelación discreta R a un valor de desprazamento j para o sinal xn é

R(j) = \sum_n (x_n-m)(x_{n-j}-m )\,

onde m é o valor medio (valor agardado) de xn. Para sinais centrados no cero (de valor medio nulo) a definición fica en:

R(j) = \sum_n x_n x_{n-j}.\,

A autocorrelación multidimensional defínese de xeito semellante. Así, a autocorrelación en tres dimensións, defínese:

R(j,k,\ell) = \sum_{n,q,r} (x_{n,q,r}-m)(x_{n-j,q-k,r-\ell}-m).

Propiedades[editar | editar a fonte]

A autocorrelación dunha dada variábel defínese pola distancia, ou atraso con que se desexa medila. Cando esa distancia é cero, tense o valor máximo 1, pois trátase da variábel correlacionada con ela mesma. Outros valores deben calcularse caso a caso.

Caso se retire da fórmula enriba a variancia \sigma tense a chamada autocovariancia, que descreve o canto a variábel X_t varía en conxunto coa súa instancia con atraso k.

Aplicacións[editar | editar a fonte]

O concepto de autocorrelación ten aplicación a moitas áreas, que van da análise dos sinais á óptica, pasando pola economía e pola xeofísica.

Un chamativo exemplo é o autocorrelador, un instrumento óptico de precisión capaz de caracterizar pulsos ópticos de femtosegundos.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Compárese co termo autocorrelador da física óptica